Intégrale de $$$e^{\frac{x}{c}}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int e^{\frac{x}{c}}\, dx$$$.

Soit $$$u=\frac{x}{c}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{x}{c}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{c}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = c du$$$.

Ainsi,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x}{c}} d x}}} = {\color{red}{\int{c e^{u} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=c$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{c e^{u} d u}}} = {\color{red}{c \int{e^{u} d u}}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$c {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = c {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{x}{c}$$$ :

$$c e^{{\color{red}{u}}} = c e^{{\color{red}{\frac{x}{c}}}}$$

Par conséquent,

$$\int{e^{\frac{x}{c}} d x} = c e^{\frac{x}{c}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{e^{\frac{x}{c}} d x} = c e^{\frac{x}{c}}+C$$

$$$\int e^{\frac{x}{c}}\, dx = c e^{\frac{x}{c}} + C$$$A