Intégrale de $$$\frac{31 \sqrt{x^{3}}}{x}$$$

Déterminez $$$\int \frac{31 \sqrt{x^{3}}}{x}\, dx$$$.

L’entrée est réécrite : $$$\int{\frac{31 \sqrt{x^{3}}}{x} d x}=\int{31 \sqrt{x} d x}$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=31$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{x}$$$ :

$${\color{red}{\int{31 \sqrt{x} d x}}} = {\color{red}{\left(31 \int{\sqrt{x} d x}\right)}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=\frac{1}{2}$$$ :

$$31 {\color{red}{\int{\sqrt{x} d x}}}=31 {\color{red}{\int{x^{\frac{1}{2}} d x}}}=31 {\color{red}{\frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}=31 {\color{red}{\left(\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}$$

Par conséquent,

$$\int{31 \sqrt{x} d x} = \frac{62 x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{31 \sqrt{x} d x} = \frac{62 x^{\frac{3}{2}}}{3}+C$$

$$$\int \frac{31 \sqrt{x^{3}}}{x}\, dx = \frac{62 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$$$A