Intégrale de $$$\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2}$$$

Déterminez $$$\int \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \tan^{2}{\left(x \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\tan^{2}{\left(x \right)} d x}}{2}\right)}}$$

Soit $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$.

Alors $$$x=\operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$ et $$$dx=\left(\operatorname{atan}{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \frac{du}{u^{2} + 1}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

Ainsi,

$$\frac{{\color{red}{\int{\tan^{2}{\left(x \right)} d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{u^{2}}{u^{2} + 1} d u}}}}{2}$$

Réécrire et décomposer la fraction:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{u^{2}}{u^{2} + 1} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{u^{2} + 1}\right)d u}}}}{2}$$

Intégrez terme à terme:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{u^{2} + 1}\right)d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\int{1 d u} - \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}\right)}}}{2}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, du = c u$$$ avec $$$c=1$$$:

$$- \frac{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{1 d u}}}}{2} = - \frac{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}{2} + \frac{{\color{red}{u}}}{2}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{u^{2} + 1}$$$ est $$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$ :

$$\frac{u}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}}}{2} = \frac{u}{2} - \frac{{\color{red}{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}}}{2}$$

Rappelons que $$$u=\tan{\left(x \right)}$$$ :

$$- \frac{\operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{u}}}{2} = - \frac{\operatorname{atan}{\left({\color{red}{\tan{\left(x \right)}}} \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\tan{\left(x \right)}}}}{2}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} d x} = \frac{\tan{\left(x \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{2}$$

Simplifier:

$$\int{\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} d x} = - \frac{x}{2} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{2}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} d x} = - \frac{x}{2} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2}\, dx = \left(- \frac{x}{2} + \frac{\tan{\left(x \right)}}{2}\right) + C$$$A