Intégrale de $$$\frac{x}{\sqrt{- 6 x^{4} + 2 x^{2}}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{x}{\sqrt{- 6 x^{4} + 2 x^{2}}}\, dx$$$.

L’entrée est réécrite : $$$\int{\frac{x}{\sqrt{- 6 x^{4} + 2 x^{2}}} d x}=\int{\frac{1}{\sqrt{2 - 6 x^{2}}} d x}$$$.

Simplifier l’intégrande:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{2 - 6 x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{1 - 3 x^{2}}} d x}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=\frac{\sqrt{2}}{2}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - 3 x^{2}}}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{1 - 3 x^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \int{\frac{1}{\sqrt{1 - 3 x^{2}}} d x}}{2}\right)}}$$

Soit $$$x=\frac{\sqrt{3} \sin{\left(u \right)}}{3}$$$.

Alors $$$dx=\left(\frac{\sqrt{3} \sin{\left(u \right)}}{3}\right)^{\prime }du = \frac{\sqrt{3} \cos{\left(u \right)}}{3} du$$$ (les étapes peuvent être vues »).

De plus, il s'ensuit que $$$u=\operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} x \right)}$$$.

Ainsi,

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - 3 x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}$$$

Utilisez l'identité $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$ :

$$$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}=\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}$$$

En supposant que $$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$, nous obtenons ce qui suit :

$$$\frac{1}{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}} = \frac{1}{\cos{\left( u \right)}}$$$

Ainsi,

$$\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{1 - 3 x^{2}}} d x}}}}{2} = \frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{3}}{3} d u}}}}{2}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, du = c u$$$ avec $$$c=\frac{\sqrt{3}}{3}$$$:

$$\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{3}}{3} d u}}}}{2} = \frac{\sqrt{2} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{3} u}{3}\right)}}}{2}$$

Rappelons que $$$u=\operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} x \right)}$$$ :

$$\frac{\sqrt{6} {\color{red}{u}}}{6} = \frac{\sqrt{6} {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} x \right)}}}}{6}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{\sqrt{2 - 6 x^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{6} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{6}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{\sqrt{2 - 6 x^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{6} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{6}+C$$

$$$\int \frac{x}{\sqrt{- 6 x^{4} + 2 x^{2}}}\, dx = \frac{\sqrt{6} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} x \right)}}{6} + C$$$A