Intégrale de $$$\frac{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}{\sqrt{x}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}{\sqrt{x}}\, dx$$$.

Soit $$$u=\sqrt{x} - 1$$$.

Alors $$$du=\left(\sqrt{x} - 1\right)^{\prime }dx = \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{\frac{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}{\sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{2 u^{2} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=2$$$ et $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$ :

$${\color{red}{\int{2 u^{2} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{u^{2} d u}\right)}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=2$$$ :

$$2 {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}=2 {\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}=2 {\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=\sqrt{x} - 1$$$ :

$$\frac{2 {\color{red}{u}}^{3}}{3} = \frac{2 {\color{red}{\left(\sqrt{x} - 1\right)}}^{3}}{3}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}{\sqrt{x}} d x} = \frac{2 \left(\sqrt{x} - 1\right)^{3}}{3}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}{\sqrt{x}} d x} = \frac{2 \left(\sqrt{x} - 1\right)^{3}}{3}+C$$

$$$\int \frac{\left(\sqrt{x} - 1\right)^{2}}{\sqrt{x}}\, dx = \frac{2 \left(\sqrt{x} - 1\right)^{3}}{3} + C$$$A