Intégrale de $$$\frac{\sqrt{x}}{1 - x}$$$

Déterminez $$$\int \frac{\sqrt{x}}{1 - x}\, dx$$$.

Soit $$$u=\sqrt{x}$$$.

Alors $$$du=\left(\sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 du$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{x}}{1 - x} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 u^{2}}{1 - u^{2}} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=2$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \frac{u^{2}}{1 - u^{2}}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{2 u^{2}}{1 - u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\frac{u^{2}}{1 - u^{2}} d u}\right)}}$$

Puisque le degré du numérateur n’est pas inférieur à celui du dénominateur, effectuez la division euclidienne des polynômes (voir les étapes »):

$$2 {\color{red}{\int{\frac{u^{2}}{1 - u^{2}} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(-1 + \frac{1}{1 - u^{2}}\right)d u}}}$$

Intégrez terme à terme:

$$2 {\color{red}{\int{\left(-1 + \frac{1}{1 - u^{2}}\right)d u}}} = 2 {\color{red}{\left(- \int{1 d u} + \int{\frac{1}{1 - u^{2}} d u}\right)}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, du = c u$$$ avec $$$c=1$$$:

$$2 \int{\frac{1}{1 - u^{2}} d u} - 2 {\color{red}{\int{1 d u}}} = 2 \int{\frac{1}{1 - u^{2}} d u} - 2 {\color{red}{u}}$$

Effectuer la décomposition en fractions partielles (les étapes peuvent être vues »):

$$- 2 u + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{1 - u^{2}} d u}}} = - 2 u + 2 {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2 \left(u + 1\right)} - \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\right)d u}}}$$

Intégrez terme à terme:

$$- 2 u + 2 {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2 \left(u + 1\right)} - \frac{1}{2 \left(u - 1\right)}\right)d u}}} = - 2 u + 2 {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} + \int{\frac{1}{2 \left(u + 1\right)} d u}\right)}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u + 1}$$$ :

$$- 2 u - 2 \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \left(u + 1\right)} d u}}} = - 2 u - 2 \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} + 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u + 1} d u}}{2}\right)}}$$

Soit $$$v=u + 1$$$.

Alors $$$dv=\left(u + 1\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$du = dv$$$.

L’intégrale devient

$$- 2 u - 2 \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u + 1} d u}}} = - 2 u - 2 \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} + {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{v}$$$ est $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$ :

$$- 2 u - 2 \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} + {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = - 2 u - 2 \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} + {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

Rappelons que $$$v=u + 1$$$ :

$$- 2 u + \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} - 2 \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u} = - 2 u + \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u + 1\right)}}}\right| \right)} - 2 \int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u - 1}$$$ :

$$- 2 u + \ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)} - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \left(u - 1\right)} d u}}} = - 2 u + \ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)} - 2 {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u - 1} d u}}{2}\right)}}$$

Soit $$$v=u - 1$$$.

Alors $$$dv=\left(u - 1\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$du = dv$$$.

L’intégrale devient

$$- 2 u + \ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{u - 1} d u}}} = - 2 u + \ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{v}$$$ est $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$ :

$$- 2 u + \ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = - 2 u + \ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)} - {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

Rappelons que $$$v=u - 1$$$ :

$$- 2 u + \ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} = - 2 u + \ln{\left(\left|{u + 1}\right| \right)} - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u - 1\right)}}}\right| \right)}$$

Rappelons que $$$u=\sqrt{x}$$$ :

$$- \ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{u}}}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{1 + {\color{red}{u}}}\right| \right)} - 2 {\color{red}{u}} = - \ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{\sqrt{x}}}}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{1 + {\color{red}{\sqrt{x}}}}\right| \right)} - 2 {\color{red}{\sqrt{x}}}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{\sqrt{x}}{1 - x} d x} = - 2 \sqrt{x} - \ln{\left(\left|{\sqrt{x} - 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{\sqrt{x} + 1}\right| \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{\sqrt{x}}{1 - x} d x} = - 2 \sqrt{x} - \ln{\left(\left|{\sqrt{x} - 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{\sqrt{x} + 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{\sqrt{x}}{1 - x}\, dx = \left(- 2 \sqrt{x} - \ln\left(\left|{\sqrt{x} - 1}\right|\right) + \ln\left(\left|{\sqrt{x} + 1}\right|\right)\right) + C$$$A