Intégrale de $$$\frac{e^{4 x}}{2}$$$

Déterminez $$$\int \frac{e^{4 x}}{2}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = e^{4 x}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{e^{4 x}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{4 x} d x}}{2}\right)}}$$

Soit $$$u=4 x$$$.

Alors $$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = \frac{du}{4}$$$.

Ainsi,

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{4 x} d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}}}{2}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{4}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{4} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{e^{u} d u}}{4}\right)}}}{2}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{8} = \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{8}$$

Rappelons que $$$u=4 x$$$ :

$$\frac{e^{{\color{red}{u}}}}{8} = \frac{e^{{\color{red}{\left(4 x\right)}}}}{8}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{e^{4 x}}{2} d x} = \frac{e^{4 x}}{8}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{e^{4 x}}{2} d x} = \frac{e^{4 x}}{8}+C$$

$$$\int \frac{e^{4 x}}{2}\, dx = \frac{e^{4 x}}{8} + C$$$A