Intégrale de $$$x^{2} - 3 x - 4$$$

Déterminez $$$\int \left(x^{2} - 3 x - 4\right)\, dx$$$.

Intégrez terme à terme:

$${\color{red}{\int{\left(x^{2} - 3 x - 4\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{4 d x} - \int{3 x d x} + \int{x^{2} d x}\right)}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, dx = c x$$$ avec $$$c=4$$$:

$$- \int{3 x d x} + \int{x^{2} d x} - {\color{red}{\int{4 d x}}} = - \int{3 x d x} + \int{x^{2} d x} - {\color{red}{\left(4 x\right)}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=2$$$ :

$$- 4 x - \int{3 x d x} + {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=- 4 x - \int{3 x d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- 4 x - \int{3 x d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=3$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x$$$ :

$$\frac{x^{3}}{3} - 4 x - {\color{red}{\int{3 x d x}}} = \frac{x^{3}}{3} - 4 x - {\color{red}{\left(3 \int{x d x}\right)}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=1$$$ :

$$\frac{x^{3}}{3} - 4 x - 3 {\color{red}{\int{x d x}}}=\frac{x^{3}}{3} - 4 x - 3 {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=\frac{x^{3}}{3} - 4 x - 3 {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$

Par conséquent,

$$\int{\left(x^{2} - 3 x - 4\right)d x} = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} - 4 x$$

Simplifier:

$$\int{\left(x^{2} - 3 x - 4\right)d x} = \frac{x \left(2 x^{2} - 9 x - 24\right)}{6}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\left(x^{2} - 3 x - 4\right)d x} = \frac{x \left(2 x^{2} - 9 x - 24\right)}{6}+C$$

$$$\int \left(x^{2} - 3 x - 4\right)\, dx = \frac{x \left(2 x^{2} - 9 x - 24\right)}{6} + C$$$A