Intégrale de $$$\frac{8 x^{2} - 17 x + 15}{x^{3} - 2 x^{2} - x + 2}$$$

Déterminez $$$\int \frac{8 x^{2} - 17 x + 15}{x^{3} - 2 x^{2} - x + 2}\, dx$$$.

Effectuer la décomposition en fractions partielles (les étapes peuvent être vues »):

$${\color{red}{\int{\frac{8 x^{2} - 17 x + 15}{x^{3} - 2 x^{2} - x + 2} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{20}{3 \left(x + 1\right)} - \frac{3}{x - 1} + \frac{13}{3 \left(x - 2\right)}\right)d x}}}$$

Intégrez terme à terme:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{20}{3 \left(x + 1\right)} - \frac{3}{x - 1} + \frac{13}{3 \left(x - 2\right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{13}{3 \left(x - 2\right)} d x} - \int{\frac{3}{x - 1} d x} + \int{\frac{20}{3 \left(x + 1\right)} d x}\right)}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=3$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 1}$$$ :

$$\int{\frac{13}{3 \left(x - 2\right)} d x} + \int{\frac{20}{3 \left(x + 1\right)} d x} - {\color{red}{\int{\frac{3}{x - 1} d x}}} = \int{\frac{13}{3 \left(x - 2\right)} d x} + \int{\frac{20}{3 \left(x + 1\right)} d x} - {\color{red}{\left(3 \int{\frac{1}{x - 1} d x}\right)}}$$

Soit $$$u=x - 1$$$.

Alors $$$du=\left(x - 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = du$$$.

L’intégrale devient

$$\int{\frac{13}{3 \left(x - 2\right)} d x} + \int{\frac{20}{3 \left(x + 1\right)} d x} - 3 {\color{red}{\int{\frac{1}{x - 1} d x}}} = \int{\frac{13}{3 \left(x - 2\right)} d x} + \int{\frac{20}{3 \left(x + 1\right)} d x} - 3 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{u}$$$ est $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ :

$$\int{\frac{13}{3 \left(x - 2\right)} d x} + \int{\frac{20}{3 \left(x + 1\right)} d x} - 3 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = \int{\frac{13}{3 \left(x - 2\right)} d x} + \int{\frac{20}{3 \left(x + 1\right)} d x} - 3 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=x - 1$$$ :

$$- 3 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} + \int{\frac{13}{3 \left(x - 2\right)} d x} + \int{\frac{20}{3 \left(x + 1\right)} d x} = - 3 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 1\right)}}}\right| \right)} + \int{\frac{13}{3 \left(x - 2\right)} d x} + \int{\frac{20}{3 \left(x + 1\right)} d x}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=\frac{13}{3}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x - 2}$$$ :

$$- 3 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \int{\frac{20}{3 \left(x + 1\right)} d x} + {\color{red}{\int{\frac{13}{3 \left(x - 2\right)} d x}}} = - 3 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \int{\frac{20}{3 \left(x + 1\right)} d x} + {\color{red}{\left(\frac{13 \int{\frac{1}{x - 2} d x}}{3}\right)}}$$

Soit $$$u=x - 2$$$.

Alors $$$du=\left(x - 2\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = du$$$.

L’intégrale devient

$$- 3 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \int{\frac{20}{3 \left(x + 1\right)} d x} + \frac{13 {\color{red}{\int{\frac{1}{x - 2} d x}}}}{3} = - 3 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \int{\frac{20}{3 \left(x + 1\right)} d x} + \frac{13 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{3}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{u}$$$ est $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ :

$$- 3 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \int{\frac{20}{3 \left(x + 1\right)} d x} + \frac{13 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{3} = - 3 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \int{\frac{20}{3 \left(x + 1\right)} d x} + \frac{13 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{3}$$

Rappelons que $$$u=x - 2$$$ :

$$- 3 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \frac{13 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{3} + \int{\frac{20}{3 \left(x + 1\right)} d x} = - 3 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \frac{13 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 2\right)}}}\right| \right)}}{3} + \int{\frac{20}{3 \left(x + 1\right)} d x}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=\frac{20}{3}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x + 1}$$$ :

$$\frac{13 \ln{\left(\left|{x - 2}\right| \right)}}{3} - 3 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + {\color{red}{\int{\frac{20}{3 \left(x + 1\right)} d x}}} = \frac{13 \ln{\left(\left|{x - 2}\right| \right)}}{3} - 3 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + {\color{red}{\left(\frac{20 \int{\frac{1}{x + 1} d x}}{3}\right)}}$$

Soit $$$u=x + 1$$$.

Alors $$$du=\left(x + 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = du$$$.

Par conséquent,

$$\frac{13 \ln{\left(\left|{x - 2}\right| \right)}}{3} - 3 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \frac{20 {\color{red}{\int{\frac{1}{x + 1} d x}}}}{3} = \frac{13 \ln{\left(\left|{x - 2}\right| \right)}}{3} - 3 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \frac{20 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{3}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{u}$$$ est $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ :

$$\frac{13 \ln{\left(\left|{x - 2}\right| \right)}}{3} - 3 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \frac{20 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{3} = \frac{13 \ln{\left(\left|{x - 2}\right| \right)}}{3} - 3 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \frac{20 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{3}$$

Rappelons que $$$u=x + 1$$$ :

$$\frac{13 \ln{\left(\left|{x - 2}\right| \right)}}{3} - 3 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \frac{20 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{3} = \frac{13 \ln{\left(\left|{x - 2}\right| \right)}}{3} - 3 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \frac{20 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x + 1\right)}}}\right| \right)}}{3}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{8 x^{2} - 17 x + 15}{x^{3} - 2 x^{2} - x + 2} d x} = \frac{13 \ln{\left(\left|{x - 2}\right| \right)}}{3} - 3 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \frac{20 \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{3}$$

Simplifier:

$$\int{\frac{8 x^{2} - 17 x + 15}{x^{3} - 2 x^{2} - x + 2} d x} = \frac{13 \ln{\left(\left|{x - 2}\right| \right)} - 9 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + 20 \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{3}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{8 x^{2} - 17 x + 15}{x^{3} - 2 x^{2} - x + 2} d x} = \frac{13 \ln{\left(\left|{x - 2}\right| \right)} - 9 \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + 20 \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}}{3}+C$$

$$$\int \frac{8 x^{2} - 17 x + 15}{x^{3} - 2 x^{2} - x + 2}\, dx = \frac{13 \ln\left(\left|{x - 2}\right|\right) - 9 \ln\left(\left|{x - 1}\right|\right) + 20 \ln\left(\left|{x + 1}\right|\right)}{3} + C$$$A