Intégrale de $$$\frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2}$$$

Déterminez $$$\int \frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2}\, dt$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(t \right)} = \cos{\left(\frac{t}{2} \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2} d t}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)} d t}}{2}\right)}}$$

Soit $$$u=\frac{t}{2}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{t}{2}\right)^{\prime }dt = \frac{dt}{2}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dt = 2 du$$$.

Par conséquent,

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)} d t}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{2 \cos{\left(u \right)} d u}}}}{2}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=2$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{2 \cos{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(2 \int{\cos{\left(u \right)} d u}\right)}}}{2}$$

L’intégrale du cosinus est $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{t}{2}$$$ :

$$\sin{\left({\color{red}{u}} \right)} = \sin{\left({\color{red}{\left(\frac{t}{2}\right)}} \right)}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2} d t} = \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2} d t} = \sin{\left(\frac{t}{2} \right)}+C$$

$$$\int \frac{\cos{\left(\frac{t}{2} \right)}}{2}\, dt = \sin{\left(\frac{t}{2} \right)} + C$$$A