Intégrale de $$$\left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3}$$$

Déterminez $$$\int \left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3}\, dx$$$.

Soit $$$u=\frac{x}{8} - 2$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{x}{8} - 2\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{8}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = 8 du$$$.

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{\left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3} d x}}} = {\color{red}{\int{8 u^{3} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=8$$$ et $$$f{\left(u \right)} = u^{3}$$$ :

$${\color{red}{\int{8 u^{3} d u}}} = {\color{red}{\left(8 \int{u^{3} d u}\right)}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=3$$$ :

$$8 {\color{red}{\int{u^{3} d u}}}=8 {\color{red}{\frac{u^{1 + 3}}{1 + 3}}}=8 {\color{red}{\left(\frac{u^{4}}{4}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{x}{8} - 2$$$ :

$$2 {\color{red}{u}}^{4} = 2 {\color{red}{\left(\frac{x}{8} - 2\right)}}^{4}$$

Par conséquent,

$$\int{\left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3} d x} = 2 \left(\frac{x}{8} - 2\right)^{4}$$

Simplifier:

$$\int{\left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3} d x} = \frac{\left(x - 16\right)^{4}}{2048}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3} d x} = \frac{\left(x - 16\right)^{4}}{2048}+C$$

$$$\int \left(\frac{x}{8} - 2\right)^{3}\, dx = \frac{\left(x - 16\right)^{4}}{2048} + C$$$A