Intégrale de $$$\frac{x}{\sec{\left(x \right)}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{x}{\sec{\left(x \right)}}\, dx$$$.

Simplifier l’intégrande:

$${\color{red}{\int{\frac{x}{\sec{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{x \cos{\left(x \right)} d x}}}$$

Pour l’intégrale $$$\int{x \cos{\left(x \right)} d x}$$$, utilisez l’intégration par parties $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$.

Soient $$$\operatorname{u}=x$$$ et $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(x \right)} dx$$$.

Donc $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (les étapes peuvent être consultées ») et $$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(x \right)} d x}=\sin{\left(x \right)}$$$ (les étapes peuvent être consultées »).

Par conséquent,

$${\color{red}{\int{x \cos{\left(x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(x \cdot \sin{\left(x \right)}-\int{\sin{\left(x \right)} \cdot 1 d x}\right)}}={\color{red}{\left(x \sin{\left(x \right)} - \int{\sin{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

L’intégrale du sinus est $$$\int{\sin{\left(x \right)} d x} = - \cos{\left(x \right)}$$$ :

$$x \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\sin{\left(x \right)} d x}}} = x \sin{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(- \cos{\left(x \right)}\right)}}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{x}{\sec{\left(x \right)}} d x} = x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{x}{\sec{\left(x \right)}} d x} = x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \frac{x}{\sec{\left(x \right)}}\, dx = \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + C$$$A