Intégrale de $$$\frac{1}{x \ln^{2}\left(x\right)}$$$

Déterminez $$$\int \frac{1}{x \ln^{2}\left(x\right)}\, dx$$$.

Soit $$$u=\ln{\left(x \right)}$$$.

Alors $$$du=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{x}$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\frac{dx}{x} = du$$$.

Ainsi,

$${\color{red}{\int{\frac{1}{x \ln{\left(x \right)}^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=-2$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}}={\color{red}{\int{u^{-2} d u}}}={\color{red}{\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}}}={\color{red}{\left(- u^{-1}\right)}}={\color{red}{\left(- \frac{1}{u}\right)}}$$

Rappelons que $$$u=\ln{\left(x \right)}$$$ :

$$- {\color{red}{u}}^{-1} = - {\color{red}{\ln{\left(x \right)}}}^{-1}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{1}{x \ln{\left(x \right)}^{2}} d x} = - \frac{1}{\ln{\left(x \right)}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{1}{x \ln{\left(x \right)}^{2}} d x} = - \frac{1}{\ln{\left(x \right)}}+C$$

$$$\int \frac{1}{x \ln^{2}\left(x\right)}\, dx = - \frac{1}{\ln\left(x\right)} + C$$$A