Intégrale de $$$\frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int \frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\, dx$$$.

Soit $$$u=a^{\sqrt{x}}$$$.

Alors $$$du=\left(a^{\sqrt{x}}\right)^{\prime }dx = \frac{a^{\sqrt{x}} \ln{\left(a \right)}}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\frac{a^{\sqrt{x}} dx}{\sqrt{x}} = \frac{2 du}{\ln{\left(a \right)}}$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$${\color{red}{\int{\frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2}{\ln{\left(a \right)}} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{2}{\ln{\left(a \right)}}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = 1$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{2}{\ln{\left(a \right)}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{1 d u}}{\ln{\left(a \right)}}\right)}}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, du = c u$$$ avec $$$c=1$$$:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{1 d u}}}}{\ln{\left(a \right)}} = \frac{2 {\color{red}{u}}}{\ln{\left(a \right)}}$$

Rappelons que $$$u=a^{\sqrt{x}}$$$ :

$$\frac{2 {\color{red}{u}}}{\ln{\left(a \right)}} = \frac{2 {\color{red}{a^{\sqrt{x}}}}}{\ln{\left(a \right)}}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x} = \frac{2 a^{\sqrt{x}}}{\ln{\left(a \right)}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x} = \frac{2 a^{\sqrt{x}}}{\ln{\left(a \right)}}+C$$

$$$\int \frac{a^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\, dx = \frac{2 a^{\sqrt{x}}}{\ln\left(a\right)} + C$$$A