Intégrale de $$$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$$$

Déterminez $$$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}\, dx$$$.

Soit $$$u=\frac{1}{x}$$$.

Alors $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$.

Donc,

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=-1$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$${\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$- {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=\frac{1}{x}$$$ :

$$- e^{{\color{red}{u}}} = - e^{{\color{red}{\frac{1}{x}}}}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x} = - e^{\frac{1}{x}}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x} = - e^{\frac{1}{x}}+C$$

$$$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}\, dx = - e^{\frac{1}{x}} + C$$$A