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Dérivée seconde de $$$\cos^{2}{\left(x \right)}$$$
Calculatrices associées: Calculatrice de dérivées, Calculatrice de dérivation logarithmique
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right)$$$.
Solution
Trouvez la dérivée première $$$\frac{d}{dx} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right)$$$
La fonction $$$\cos^{2}{\left(x \right)}$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = u^{2}$$$ et $$$g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right) \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)}$$Appliquez la règle de la puissance $$$\frac{d}{du} \left(u^{n}\right) = n u^{n - 1}$$$ avec $$$n = 2$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(u^{2}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right) = {\color{red}\left(2 u\right)} \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$2 {\color{red}\left(u\right)} \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right) = 2 {\color{red}\left(\cos{\left(x \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)$$La dérivée du cosinus est $$$\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right) = - \sin{\left(x \right)}$$$ :
$$2 \cos{\left(x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(x \right)}\right)\right)} = 2 \cos{\left(x \right)} {\color{red}\left(- \sin{\left(x \right)}\right)}$$Simplifier:
$$- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(2 x \right)}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right) = - \sin{\left(2 x \right)}$$$.
Ensuite, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(- \sin{\left(2 x \right)}\right)$$$
Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$c = -1$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- \sin{\left(2 x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)\right)}$$La fonction $$$\sin{\left(2 x \right)}$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ et $$$g{\left(x \right)} = 2 x$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$$- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(2 x \right)}\right)\right)} = - {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)}$$La dérivée du sinus est $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$ :
$$- {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) = - {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$- \cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right) = - \cos{\left({\color{red}\left(2 x\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(2 x\right)$$Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$c = 2$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$- \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)} = - \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Appliquez la règle de puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = 1$$$, en d'autres termes, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$- 2 \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = - 2 \cos{\left(2 x \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(- \sin{\left(2 x \right)}\right) = - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$$.
Donc, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right) = - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$$.
Réponse
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\cos^{2}{\left(x \right)}\right) = - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$$A