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Dérivée seconde de $$$2^{n}$$$

La calculatrice trouvera la dérivée seconde de $$$2^{n}$$$, avec les étapes affichées.

Calculatrices associées: Calculatrice de dérivées, Calculatrice de dérivation logarithmique

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Votre saisie

Déterminez $$$\frac{d^{2}}{dn^{2}} \left(2^{n}\right)$$$.

Solution

Trouvez la dérivée première $$$\frac{d}{dn} \left(2^{n}\right)$$$

Appliquez la règle des exposants $$$\frac{d}{dn} \left(m^{n}\right) = m^{n} \ln\left(m\right)$$$ avec $$$m = 2$$$ :

$${\color{red}\left(\frac{d}{dn} \left(2^{n}\right)\right)} = {\color{red}\left(2^{n} \ln\left(2\right)\right)}$$

Ainsi, $$$\frac{d}{dn} \left(2^{n}\right) = 2^{n} \ln\left(2\right)$$$.

Ensuite, $$$\frac{d^{2}}{dn^{2}} \left(2^{n}\right) = \frac{d}{dn} \left(2^{n} \ln\left(2\right)\right)$$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dn} \left(c f{\left(n \right)}\right) = c \frac{d}{dn} \left(f{\left(n \right)}\right)$$$ avec $$$c = \ln\left(2\right)$$$ et $$$f{\left(n \right)} = 2^{n}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dn} \left(2^{n} \ln\left(2\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\ln\left(2\right) \frac{d}{dn} \left(2^{n}\right)\right)}$$

Appliquez la règle des exposants $$$\frac{d}{dn} \left(m^{n}\right) = m^{n} \ln\left(m\right)$$$ avec $$$m = 2$$$ :

$$\ln\left(2\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dn} \left(2^{n}\right)\right)} = \ln\left(2\right) {\color{red}\left(2^{n} \ln\left(2\right)\right)}$$

Ainsi, $$$\frac{d}{dn} \left(2^{n} \ln\left(2\right)\right) = 2^{n} \ln^{2}\left(2\right)$$$.

Donc, $$$\frac{d^{2}}{dn^{2}} \left(2^{n}\right) = 2^{n} \ln^{2}\left(2\right)$$$.

Réponse

$$$\frac{d^{2}}{dn^{2}} \left(2^{n}\right) = 2^{n} \ln^{2}\left(2\right)$$$A


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