Calculatrice de dérivée seconde
Calculez les dérivées secondes étape par étape
Cette calculatrice calcule la dérivée seconde de toute fonction, en montrant les étapes. Elle peut également évaluer la dérivée seconde au point donné si nécessaire.
Calculatrices associées: Calculatrice de dérivées, Calculatrice de dérivation logarithmique
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right)$$$.
Solution
Trouvez la dérivée première $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right)$$$
La fonction $$$\sin{\left(5 x \right)}$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ et $$$g{\left(x \right)} = 5 x$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(5 x\right)\right)}$$La dérivée du sinus est $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$ :
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right) = \cos{\left({\color{red}\left(5 x\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right)$$Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$c = 5$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$\cos{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(5 x\right)\right)} = \cos{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(5 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Appliquez la règle de puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = 1$$$, en d'autres termes, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$5 \cos{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 5 \cos{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right) = 5 \cos{\left(5 x \right)}$$$.
Ensuite, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(5 \cos{\left(5 x \right)}\right)$$$
Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$c = 5$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(5 x \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(5 \cos{\left(5 x \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(5 \frac{d}{dx} \left(\cos{\left(5 x \right)}\right)\right)}$$La fonction $$$\cos{\left(5 x \right)}$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ et $$$g{\left(x \right)} = 5 x$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$$5 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\cos{\left(5 x \right)}\right)\right)} = 5 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(5 x\right)\right)}$$La dérivée du cosinus est $$$\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) = - \sin{\left(u \right)}$$$ :
$$5 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right) = 5 {\color{red}\left(- \sin{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$- 5 \sin{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right) = - 5 \sin{\left({\color{red}\left(5 x\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right)$$Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$c = 5$$$ et $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$- 5 \sin{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(5 x\right)\right)} = - 5 \sin{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(5 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Appliquez la règle de puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = 1$$$, en d'autres termes, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$- 25 \sin{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = - 25 \sin{\left(5 x \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(5 \cos{\left(5 x \right)}\right) = - 25 \sin{\left(5 x \right)}$$$.
Donc, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right) = - 25 \sin{\left(5 x \right)}$$$.
Réponse
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sin{\left(5 x \right)}\right) = - 25 \sin{\left(5 x \right)}$$$A