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Calculatrice des racines d’un nombre complexe

Trouvez les racines d’un nombre complexe et les racines de l’unité étape par étape

La calculatrice trouvera les racines $$$n$$$-ièmes du nombre complexe donné à l'aide de la formule de Moivre, en affichant les étapes.

Si le calculateur n'a pas pu calculer quelque chose, si vous avez identifié une erreur, ou si vous avez une suggestion ou un commentaire, veuillez nous contacter.

Votre saisie

Déterminez $$$\sqrt[4]{81 i}$$$.

Solution

La forme polaire de $$$81 i$$$ est $$$81 \left(\cos{\left(\frac{\pi}{2} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{2} \right)}\right)$$$ (pour les étapes, voir calculateur de forme polaire).

Selon la formule de Moivre, toutes les racines $$$n$$$-ièmes d'un nombre complexe $$$r \left(\cos{\left(\theta \right)} + i \sin{\left(\theta \right)}\right)$$$ sont données par $$$r^{\frac{1}{n}} \left(\cos{\left(\frac{\theta + 2 \pi k}{n} \right)} + i \sin{\left(\frac{\theta + 2 \pi k}{n} \right)}\right)$$$, $$$k=\overline{0..n-1}$$$.

Nous avons $$$r = 81$$$, $$$\theta = \frac{\pi}{2}$$$ et $$$n = 4$$$.

  • $$$k = 0$$$: $$$\sqrt[4]{81} \left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 0}{4} \right)} + i \sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 0}{4} \right)}\right) = 3 \left(\cos{\left(\frac{\pi}{8} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{8} \right)}\right) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 3 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$$
  • $$$k = 1$$$: $$$\sqrt[4]{81} \left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 1}{4} \right)} + i \sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 1}{4} \right)}\right) = 3 \left(\cos{\left(\frac{5 \pi}{8} \right)} + i \sin{\left(\frac{5 \pi}{8} \right)}\right) = - 3 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$$
  • $$$k = 2$$$: $$$\sqrt[4]{81} \left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 2}{4} \right)} + i \sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 2}{4} \right)}\right) = 3 \left(\cos{\left(\frac{9 \pi}{8} \right)} + i \sin{\left(\frac{9 \pi}{8} \right)}\right) = - 3 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 3 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}$$$
  • $$$k = 3$$$: $$$\sqrt[4]{81} \left(\cos{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 3}{4} \right)} + i \sin{\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\cdot \pi\cdot 3}{4} \right)}\right) = 3 \left(\cos{\left(\frac{13 \pi}{8} \right)} + i \sin{\left(\frac{13 \pi}{8} \right)}\right) = 3 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$$

Réponse

$$$\sqrt[4]{81 i} = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + 3 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\approx 2.77163859753386 + 1.148050297095269 i$$$A

$$$\sqrt[4]{81 i} = - 3 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} + 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\approx -1.148050297095269 + 2.77163859753386 i$$$A

$$$\sqrt[4]{81 i} = - 3 \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - 3 i \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}}\approx -2.77163859753386 - 1.148050297095269 i$$$A

$$$\sqrt[4]{81 i} = 3 \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} - 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}\approx 1.148050297095269 - 2.77163859753386 i$$$A