Kuvauksen $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$ nollatila

Määritä matriisin $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$ nollatila.

Matriisin supistettu riviporrasmuoto on $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} - \frac{i}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$ (vaiheista ks. rref calculator).

Nollatilan löytämiseksi ratkaise matriisiyhtälö $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} - \frac{i}{2}\\0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right].$$$

Jos otamme $$$x_{2} = t$$$, niin $$$x_{1} = t \left(- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)$$$.

Siis, $$$\mathbf{\vec{x}} = \left[\begin{array}{c}t \left(- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)\\t\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] t.$$$

Tämä on nollatila.

Matriisin nulliteetti on nollatilan ulottuvuus.

Siispä matriisin nollatilan dimensio on $$$1$$$.

Nollatilan kanta on $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\} = \left\{\left[\begin{array}{c}-0.5 + 0.5 i\\1\end{array}\right]\right\}.$$$A

Matriisin nolla-avaruuden ulottuvuus on $$$1$$$A.