Matriisin nollatilan (ytimen) ja nolladimension laskin

Määritä matriisin $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1\\2 & -2 & 1\end{array}\right]$$$ nollatila.

Matriisin supistettu riviporrasmuoto on $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$ (vaiheista ks. rref calculator).

Nollatilan löytämiseksi ratkaise matriisiyhtälö $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right].$$$

Jos otamme $$$x_{2} = t$$$, niin $$$x_{1} = t$$$, $$$x_{3} = 0$$$.

Siis, $$$\mathbf{\vec{x}} = \left[\begin{array}{c}t\\t\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right] t.$$$

Tämä on nollatila.

Matriisin nulliteetti on nollatilan ulottuvuus.

Siispä matriisin nollatilan dimensio on $$$1$$$.

Nollatilan kanta on $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right]\right\}$$$A.

Matriisin nolla-avaruuden ulottuvuus on $$$1$$$A.