$$$\left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$:n divergenssi

Laske $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$.

Määritelmän mukaan $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \nabla\cdot \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$, tai yhtäpitävästi $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right\rangle\cdot \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$, missä $$$\cdot$$$ on skalaaritulo-operaattori.

Näin ollen, $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(x y z\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(y z^{2}\right).$$$

Laske komponentin 1 osittaisderivaatta muuttujan $$$x$$$ suhteen: $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y\right) = 2 x y$$$ (vaiheet: katso derivative calculator).

Laske komponentin 2 osittaisderivaatta muuttujan $$$y$$$ suhteen: $$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y z\right) = x z$$$ (vaiheet: katso derivative calculator).

Laske komponentin 3 osittaisderivaatta muuttujan $$$z$$$ suhteen: $$$\frac{\partial}{\partial z} \left(y z^{2}\right) = 2 y z$$$ (vaiheet: katso derivative calculator).

Laske nyt vain yllä olevat lausekkeet yhteen saadaksesi divergenssin: $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = 2 x y + x z + 2 y z$$$.

$$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = 2 x y + x z + 2 y z$$$A