|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Funktion $$$\ln\left(x\right)$$$ toinen derivaatta
Aiheeseen liittyvät laskurit: Derivointilaskin, Logaritmisen derivoinnin laskin
Syötteesi
Määritä $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right)$$$.
Ratkaisu
Laske ensimmäinen derivaatta $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)$$$
Luonnollisen logaritmin derivaatta on $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}$$Näin ollen, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$.
Seuraavaksi $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)$$$
Sovella potenssisääntöä $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$, kun $$$n = -1$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}$$Näin ollen, $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$.
Siispä $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$.
Vastaus
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$A