Funktion $$$f{\left(x \right)} = 5 x^{x}$$$ hetkellinen muutosnopeus kohdassa $$$x = 3$$$

Määritä hetkellinen muutosnopeus kohdassa $$$x = 3$$$ funktiolle $$$f{\left(x \right)} = 5 x^{x}$$$.

Funktion $$$f{\left(x \right)}$$$ hetkellinen muutosnopeus pisteessä $$$x = x_{0}$$$ on funktion $$$f{\left(x \right)}$$$ derivaatan arvo pisteessä $$$x = x_{0}$$$.

Tämä tarkoittaa, että meidän on löydettävä $$$5 x^{x}$$$:n derivaatta ja laskettava sen arvo kohdassa $$$x = 3$$$.

Laske funktion derivaatta: $$$\frac{d}{dx} \left(5 x^{x}\right) = 5 x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$$ (vaiheet, katso derivointilaskin).

Lopuksi laske derivaatta pisteessä $$$x = 3$$$.

$$$\left(\frac{d}{dx} \left(5 x^{x}\right)\right)|_{\left(x = 3\right)} = \left(5 x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)\right)|_{\left(x = 3\right)} = 135 + 135 \ln\left(3\right)$$$

Näin ollen $$$f{\left(x \right)} = 5 x^{x}$$$:n hetkellinen muutosnopeus kohdassa $$$x = 3$$$ on $$$135 + 135 \ln\left(3\right)$$$.

Funktion $$$f{\left(x \right)} = 5 x^{x}$$$A hetkellinen muutosnopeus kohdassa $$$x = 3$$$A on $$$135 + 135 \ln\left(3\right)\approx 283.312658970194808$$$A.