Funktion differentiaalilaskin
Laske funktion differentiaali vaiheittain
Annetulle funktiolle $$$y=f(x)$$$, pisteelle $$$x_0$$$ ja argumentin muutokselle $$$\Delta x_0$$$ laskin laskee differentiaalin $$$dy$$$ ja funktion muutoksen $$$\Delta y$$$ ja näyttää välivaiheet.
Syötteesi
Määritä funktion $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$ differentiaali $$$dy$$$ ja arvon muutos $$$\Delta y$$$, kun $$$x_{0} = 1$$$ ja $$$\Delta x_{0} = \frac{1}{4}$$$.
Ratkaisu
Löydä toinen piste: $$$x_{0} + \Delta x_{0} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$$$.
Laske funktion arvo kahdessa pisteessä: $$$f{\left(x_{0} + \Delta x_{0} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = \frac{125}{64}$$$, $$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(1 \right)} = 1$$$.
Määritelmän mukaan: $$$\Delta y = f{\left(x_{0} + \Delta x_{0} \right)} - f{\left(x_{0} \right)} = \frac{125}{64} - 1 = \frac{61}{64}$$$.
Laske derivaatta: $$$f^{\prime }\left(x\right) = 3 x^{2}$$$ (vaiheet: ks. derivointilaskin).
Laske derivaatan arvo kohdassa $$$x_{0} = 1$$$: $$$f^{\prime }\left(1\right) = 3$$$.
Differentiaali määritellään seuraavasti: $$$dy = f^{\prime }\left(x_{0}\right) \Delta x_{0} = \left(3\right)\cdot \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}$$$.
Huomaa, että $$$dy$$$:n arvo lähestyy $$$\Delta y$$$:tä, kun $$$\Delta x_0 \to 0$$$.
Vastaus
$$$\Delta y = \frac{61}{64} = 0.953125$$$A, $$$dy = \frac{3}{4} = 0.75$$$A.