Mahdolliset ja toteutuvat rationaaliset juuret $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 31 x - 30$$$:lle

Etsi polynomin $$$x^{3} - 31 x - 30 = 0$$$ rationaaliset nollakohdat.

Koska kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja, voimme soveltaa rationaalisten nollakohtien lausetta.

Viimeinen kerroin (vakiotermin kerroin) on $$$-30$$$.

Etsi sen tekijät (plus- ja miinusmerkkiset): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.

Nämä ovat $$$p$$$:n mahdolliset arvot.

Johtokerroin (suurimman asteen termin kerroin) on $$$1$$$.

Määritä sen tekijät (sekä plus- että miinusmerkillä): $$$\pm 1$$$.

Nämä ovat mahdolliset arvot $$$q$$$:lle.

Määritä kaikki mahdolliset arvot lausekkeelle $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$, $$$\pm \frac{15}{1}$$$, $$$\pm \frac{30}{1}$$$.

Yksinkertaista ja poista mahdolliset toistot (jos sellaisia on).

Nämä ovat mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.

Seuraavaksi tarkista mahdolliset juuret: jos $$$a$$$ on polynomin $$$P{\left(x \right)}$$$ juuri, jaossa tekijällä $$$x - a$$$ jäännöksen tulee olla $$$0$$$ (jäännöslauseen mukaan tämä tarkoittaa, että $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

• Tarkista $$$1$$$: jaa $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ tekijällä $$$x - 1$$$.

  $$$P{\left(1 \right)} = -60$$$; joten jäännös on $$$-60$$$.

• Tarkista $$$-1$$$: jaa $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ tekijällä $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

  $$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; joten jäännös on $$$0$$$.

  Siis $$$-1$$$ on yksi juuri.

• Tarkista $$$2$$$: jaa $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ tekijällä $$$x - 2$$$.

  $$$P{\left(2 \right)} = -84$$$; joten jäännös on $$$-84$$$.

• Tarkista $$$-2$$$: jaa $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ tekijällä $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.

  $$$P{\left(-2 \right)} = 24$$$; joten jäännös on $$$24$$$.

• Tarkista $$$3$$$: jaa $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ tekijällä $$$x - 3$$$.

  $$$P{\left(3 \right)} = -96$$$; joten jäännös on $$$-96$$$.

• Tarkista $$$-3$$$: jaa $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ tekijällä $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.

  $$$P{\left(-3 \right)} = 36$$$; joten jäännös on $$$36$$$.

• Tarkista $$$5$$$: jaa $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ tekijällä $$$x - 5$$$.

  $$$P{\left(5 \right)} = -60$$$; joten jäännös on $$$-60$$$.

• Tarkista $$$-5$$$: jaa $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ tekijällä $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.

  $$$P{\left(-5 \right)} = 0$$$; joten jäännös on $$$0$$$.

  Siis $$$-5$$$ on yksi juuri.

• Tarkista $$$6$$$: jaa $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ tekijällä $$$x - 6$$$.

  $$$P{\left(6 \right)} = 0$$$; joten jäännös on $$$0$$$.

  Siis $$$6$$$ on yksi juuri.

• Tarkista $$$-6$$$: jaa $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ tekijällä $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$.

  $$$P{\left(-6 \right)} = -60$$$; joten jäännös on $$$-60$$$.

• Tarkista $$$10$$$: jaa $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ tekijällä $$$x - 10$$$.

  $$$P{\left(10 \right)} = 660$$$; joten jäännös on $$$660$$$.

• Tarkista $$$-10$$$: jaa $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ tekijällä $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$.

  $$$P{\left(-10 \right)} = -720$$$; joten jäännös on $$$-720$$$.

• Tarkista $$$15$$$: jaa $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ tekijällä $$$x - 15$$$.

  $$$P{\left(15 \right)} = 2880$$$; joten jäännös on $$$2880$$$.

• Tarkista $$$-15$$$: jaa $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ tekijällä $$$x - \left(-15\right) = x + 15$$$.

  $$$P{\left(-15 \right)} = -2940$$$; joten jäännös on $$$-2940$$$.

• Tarkista $$$30$$$: jaa $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ tekijällä $$$x - 30$$$.

  $$$P{\left(30 \right)} = 26040$$$; joten jäännös on $$$26040$$$.

• Tarkista $$$-30$$$: jaa $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ tekijällä $$$x - \left(-30\right) = x + 30$$$.

  $$$P{\left(-30 \right)} = -26100$$$; joten jäännös on $$$-26100$$$.

Mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$A.

Todelliset rationaaliset juuret: $$$-1$$$, $$$-5$$$, $$$6$$$A.