Mahdolliset ja toteutuvat rationaaliset juuret $$$f{\left(x \right)} = x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$:lle

Etsi polynomin $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49 = 0$$$ rationaaliset nollakohdat.

Koska kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja, voimme soveltaa rationaalisten nollakohtien lausetta.

Viimeinen kerroin (vakiotermin kerroin) on $$$-49$$$.

Etsi sen tekijät (plus- ja miinusmerkkiset): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$.

Nämä ovat $$$p$$$:n mahdolliset arvot.

Johtokerroin (suurimman asteen termin kerroin) on $$$1$$$.

Määritä sen tekijät (sekä plus- että miinusmerkillä): $$$\pm 1$$$.

Nämä ovat mahdolliset arvot $$$q$$$:lle.

Määritä kaikki mahdolliset arvot lausekkeelle $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{49}{1}$$$.

Yksinkertaista ja poista mahdolliset toistot (jos sellaisia on).

Nämä ovat mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$.

Seuraavaksi tarkista mahdolliset juuret: jos $$$a$$$ on polynomin $$$P{\left(x \right)}$$$ juuri, jaossa tekijällä $$$x - a$$$ jäännöksen tulee olla $$$0$$$ (jäännöslauseen mukaan tämä tarkoittaa, että $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

• Tarkista $$$1$$$: jaa $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ tekijällä $$$x - 1$$$.

  $$$P{\left(1 \right)} = -96$$$; joten jäännös on $$$-96$$$.

• Tarkista $$$-1$$$: jaa $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ tekijällä $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

  $$$P{\left(-1 \right)} = -96$$$; joten jäännös on $$$-96$$$.

• Tarkista $$$7$$$: jaa $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ tekijällä $$$x - 7$$$.

  $$$P{\left(7 \right)} = 0$$$; joten jäännös on $$$0$$$.

  Siis $$$7$$$ on yksi juuri.

• Tarkista $$$-7$$$: jaa $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ tekijällä $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.

  $$$P{\left(-7 \right)} = 0$$$; joten jäännös on $$$0$$$.

  Siis $$$-7$$$ on yksi juuri.

• Tarkista $$$49$$$: jaa $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ tekijällä $$$x - 49$$$.

  $$$P{\left(49 \right)} = 5649504$$$; joten jäännös on $$$5649504$$$.

• Tarkista $$$-49$$$: jaa $$$x^{4} - 48 x^{2} - 49$$$ tekijällä $$$x - \left(-49\right) = x + 49$$$.

  $$$P{\left(-49 \right)} = 5649504$$$; joten jäännös on $$$5649504$$$.

Mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 49$$$A.

Todelliset rationaaliset juuret: $$$7$$$, $$$-7$$$A.