Mahdolliset ja toteutuvat rationaaliset juuret $$$f{\left(x \right)} = 4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$:lle

Etsi polynomin $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9 = 0$$$ rationaaliset nollakohdat.

Koska kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja, voimme soveltaa rationaalisten nollakohtien lausetta.

Viimeinen kerroin (vakiotermin kerroin) on $$$9$$$.

Etsi sen tekijät (plus- ja miinusmerkkiset): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.

Nämä ovat $$$p$$$:n mahdolliset arvot.

Johtokerroin (suurimman asteen termin kerroin) on $$$4$$$.

Määritä sen tekijät (sekä plus- että miinusmerkillä): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$.

Nämä ovat mahdolliset arvot $$$q$$$:lle.

Määritä kaikki mahdolliset arvot lausekkeelle $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.

Yksinkertaista ja poista mahdolliset toistot (jos sellaisia on).

Nämä ovat mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.

Seuraavaksi tarkista mahdolliset juuret: jos $$$a$$$ on polynomin $$$P{\left(x \right)}$$$ juuri, jaossa tekijällä $$$x - a$$$ jäännöksen tulee olla $$$0$$$ (jäännöslauseen mukaan tämä tarkoittaa, että $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

• Tarkista $$$1$$$: jaa $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ tekijällä $$$x - 1$$$.

  $$$P{\left(1 \right)} = -24$$$; joten jäännös on $$$-24$$$.

• Tarkista $$$-1$$$: jaa $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ tekijällä $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

  $$$P{\left(-1 \right)} = -24$$$; joten jäännös on $$$-24$$$.

• Tarkista $$$\frac{1}{2}$$$: jaa $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ tekijällä $$$x - \frac{1}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$; joten jäännös on $$$0$$$.

  Siis $$$\frac{1}{2}$$$ on yksi juuri.

• Tarkista $$$- \frac{1}{2}$$$: jaa $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ tekijällä $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = 0$$$; joten jäännös on $$$0$$$.

  Siis $$$- \frac{1}{2}$$$ on yksi juuri.

• Tarkista $$$\frac{1}{4}$$$: jaa $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ tekijällä $$$x - \frac{1}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$; joten jäännös on $$$\frac{429}{64}$$$.

• Tarkista $$$- \frac{1}{4}$$$: jaa $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ tekijällä $$$x - \left(- \frac{1}{4}\right) = x + \frac{1}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$; joten jäännös on $$$\frac{429}{64}$$$.

• Tarkista $$$3$$$: jaa $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ tekijällä $$$x - 3$$$.

  $$$P{\left(3 \right)} = 0$$$; joten jäännös on $$$0$$$.

  Siis $$$3$$$ on yksi juuri.

• Tarkista $$$-3$$$: jaa $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ tekijällä $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.

  $$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$; joten jäännös on $$$0$$$.

  Siis $$$-3$$$ on yksi juuri.

• Tarkista $$$\frac{3}{2}$$$: jaa $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ tekijällä $$$x - \frac{3}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{3}{2} \right)} = -54$$$; joten jäännös on $$$-54$$$.

• Tarkista $$$- \frac{3}{2}$$$: jaa $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ tekijällä $$$x - \left(- \frac{3}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{3}{2} \right)} = -54$$$; joten jäännös on $$$-54$$$.

• Tarkista $$$\frac{3}{4}$$$: jaa $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ tekijällä $$$x - \frac{3}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$; joten jäännös on $$$- \frac{675}{64}$$$.

• Tarkista $$$- \frac{3}{4}$$$: jaa $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ tekijällä $$$x - \left(- \frac{3}{4}\right) = x + \frac{3}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$; joten jäännös on $$$- \frac{675}{64}$$$.

• Tarkista $$$9$$$: jaa $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ tekijällä $$$x - 9$$$.

  $$$P{\left(9 \right)} = 23256$$$; joten jäännös on $$$23256$$$.

• Tarkista $$$-9$$$: jaa $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ tekijällä $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$.

  $$$P{\left(-9 \right)} = 23256$$$; joten jäännös on $$$23256$$$.

• Tarkista $$$\frac{9}{2}$$$: jaa $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ tekijällä $$$x - \frac{9}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{9}{2} \right)} = 900$$$; joten jäännös on $$$900$$$.

• Tarkista $$$- \frac{9}{2}$$$: jaa $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ tekijällä $$$x - \left(- \frac{9}{2}\right) = x + \frac{9}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{9}{2} \right)} = 900$$$; joten jäännös on $$$900$$$.

• Tarkista $$$\frac{9}{4}$$$: jaa $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ tekijällä $$$x - \frac{9}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$; joten jäännös on $$$- \frac{4851}{64}$$$.

• Tarkista $$$- \frac{9}{4}$$$: jaa $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ tekijällä $$$x - \left(- \frac{9}{4}\right) = x + \frac{9}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$; joten jäännös on $$$- \frac{4851}{64}$$$.

Mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$A.

Todelliset rationaaliset juuret: $$$\frac{1}{2}$$$, $$$- \frac{1}{2}$$$, $$$3$$$, $$$-3$$$A.