Rationaalisten nollakohtien lauseen laskin
Etsi polynomien kaikki mahdolliset rationaaliset juuret vaiheittain
Laskin etsii polynomille kaikki mahdolliset rationaalijuuret rationaalijuurten lauseen avulla. Tämän jälkeen se päättelee, mitkä mahdollisista juurista ovat polynomin juuria. Tämä on kokonaislukujuurten lauseen (integral root theorem) yleisempi tapaus (kun johtokerroin on $$$1$$$ tai $$$-1$$$). Vaiheittaiset ratkaisut ovat saatavilla.
Syötteesi
Etsi polynomin $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7 = 0$$$ rationaaliset nollakohdat.
Ratkaisu
Koska kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja, voimme soveltaa rationaalisten nollakohtien lausetta.
Viimeinen kerroin (vakiotermin kerroin) on $$$7$$$.
Etsi sen tekijät (plus- ja miinusmerkkiset): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$.
Nämä ovat $$$p$$$:n mahdolliset arvot.
Johtokerroin (suurimman asteen termin kerroin) on $$$2$$$.
Määritä sen tekijät (sekä plus- että miinusmerkillä): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.
Nämä ovat mahdolliset arvot $$$q$$$:lle.
Määritä kaikki mahdolliset arvot lausekkeelle $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.
Yksinkertaista ja poista mahdolliset toistot (jos sellaisia on).
Nämä ovat mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.
Seuraavaksi tarkista mahdolliset juuret: jos $$$a$$$ on polynomin $$$P{\left(x \right)}$$$ juuri, jaossa tekijällä $$$x - a$$$ jäännöksen tulee olla $$$0$$$ (jäännöslauseen mukaan tämä tarkoittaa, että $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Tarkista $$$1$$$: jaa $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ tekijällä $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -12$$$; joten jäännös on $$$-12$$$.
Tarkista $$$-1$$$: jaa $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ tekijällä $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; joten jäännös on $$$0$$$.
Siis $$$-1$$$ on yksi juuri.
Tarkista $$$\frac{1}{2}$$$: jaa $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ tekijällä $$$x - \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$; joten jäännös on $$$0$$$.
Siis $$$\frac{1}{2}$$$ on yksi juuri.
Tarkista $$$- \frac{1}{2}$$$: jaa $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ tekijällä $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{27}{4}$$$; joten jäännös on $$$\frac{27}{4}$$$.
Tarkista $$$7$$$: jaa $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ tekijällä $$$x - 7$$$.
$$$P{\left(7 \right)} = 4368$$$; joten jäännös on $$$4368$$$.
Tarkista $$$-7$$$: jaa $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ tekijällä $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.
$$$P{\left(-7 \right)} = 3780$$$; joten jäännös on $$$3780$$$.
Tarkista $$$\frac{7}{2}$$$: jaa $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ tekijällä $$$x - \frac{7}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{7}{2} \right)} = \frac{567}{4}$$$; joten jäännös on $$$\frac{567}{4}$$$.
Tarkista $$$- \frac{7}{2}$$$: jaa $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ tekijällä $$$x - \left(- \frac{7}{2}\right) = x + \frac{7}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{7}{2} \right)} = 105$$$; joten jäännös on $$$105$$$.
Vastaus
Mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$A.
Todelliset rationaaliset juuret: $$$-1$$$, $$$\frac{1}{2}$$$A.