Jaa $$$x^{3}$$$ luvulla $$$x - 1$$$

Kirjoita tehtävä erityisessä muodossa (puuttuvat termit kirjoitetaan nollakertoimilla):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-1&x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Vaihe 1

Jaa jaettavan johtotermi jakajan johtotermillä: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Kirjoita laskettu tulos taulukon yläosaan.

Kerro se jakajalla: $$$x^{2} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}$$$.

Vähennä saadusta tuloksesta jaettava: $$$\left(x^{3}\right) - \left(x^{3}- x^{2}\right) = x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkBlue}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{DarkBlue}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkBlue}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkBlue}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DarkBlue}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Vaihe 2

Jaa saadun jäännöksen johtotermi jakajan johtotermillä: $$$\frac{x^{2}}{x} = x$$$.

Kirjoita laskettu tulos taulukon yläosaan.

Kerro se jakajalla: $$$x \left(x-1\right) = x^{2}- x$$$.

Vähennä jäännös saadusta tuloksesta: $$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}- x\right) = x$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{Crimson}+x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Crimson}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Crimson}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Crimson}x}\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&{\color{Crimson}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&x&+0&\end{array}$$

Vaihe 3

Jaa saadun jäännöksen johtotermi jakajan johtotermillä: $$$\frac{x}{x} = 1$$$.

Kirjoita laskettu tulos taulukon yläosaan.

Kerro se jakajalla: $$$1 \left(x-1\right) = x-1$$$.

Vähennä jäännös saadusta tuloksesta: $$$\left(x\right) - \left(x-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+x&{\color{Fuchsia}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&x^{2}&+0 x&+0&\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&\\\hline\\&&&{\color{Fuchsia}x}&+0&\frac{{\color{Fuchsia}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Fuchsia}1}\\&&&-\phantom{x}&&\\&&&x&-1&{\color{Fuchsia}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Koska jäännöksen aste on pienempi kuin jakajan aste, olemme valmiit.

Syntynyt taulukko näytetään uudelleen:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkBlue}x^{2}}&{\color{Crimson}+x}&{\color{Fuchsia}+1}&&\text{Vihjeet}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{DarkBlue}x^{3}}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkBlue}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkBlue}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DarkBlue}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&{\color{Crimson}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Crimson}x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Crimson}x}\\&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&x^{2}&- x&&{\color{Crimson}x} \left(x-1\right) = x^{2}- x\\\hline\\&&&{\color{Fuchsia}x}&+0&\frac{{\color{Fuchsia}x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Fuchsia}1}\\&&&-\phantom{x}&&\\&&&x&-1&{\color{Fuchsia}1} \left(x-1\right) = x-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Siispä $$$\frac{x^{3}}{x - 1} = \left(x^{2} + x + 1\right) + \frac{1}{x - 1}$$$.