Jaa $$$x^{4}$$$ luvulla $$$x^{2} - 1$$$

Kirjoita tehtävä erityisessä muodossa (puuttuvat termit kirjoitetaan nollakertoimilla):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}-1&x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Vaihe 1

Jaa jaettavan johtotermi jakajan johtotermillä: $$$\frac{x^{4}}{x^{2}} = x^{2}$$$.

Kirjoita laskettu tulos taulukon yläosaan.

Kerro se jakajalla: $$$x^{2} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}$$$.

Vähennä saadusta tuloksesta jaettava: $$$\left(x^{4}\right) - \left(x^{4}- x^{2}\right) = x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{SaddleBrown}x^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{SaddleBrown}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{SaddleBrown}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{SaddleBrown}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Vaihe 2

Jaa saadun jäännöksen johtotermi jakajan johtotermillä: $$$\frac{x^{2}}{x^{2}} = 1$$$.

Kirjoita laskettu tulos taulukon yläosaan.

Kerro se jakajalla: $$$1 \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1$$$.

Vähennä jäännös saadusta tuloksesta: $$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{2}&{\color{DarkCyan}+1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{DarkCyan}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkCyan}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DarkCyan}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{DarkCyan}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Koska jäännöksen aste on pienempi kuin jakajan aste, olemme valmiit.

Syntynyt taulukko näytetään uudelleen:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{SaddleBrown}x^{2}}&{\color{DarkCyan}+1}&&&&\text{Vihjeet}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{SaddleBrown}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{SaddleBrown}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{SaddleBrown}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&{\color{DarkCyan}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkCyan}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DarkCyan}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{DarkCyan}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Siispä $$$\frac{x^{4}}{x^{2} - 1} = \left(x^{2} + 1\right) + \frac{1}{x^{2} - 1}$$$.