Jaa $$$y^{3}$$$ luvulla $$$1 - y$$$

Kirjoita tehtävä erityisessä muodossa (puuttuvat termit kirjoitetaan nollakertoimilla):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\- y+1&y^{3}+0 y^{2}+0 y+0\end{array}$$$

Vaihe 1

Jaa jaettavan johtotermi jakajan johtotermillä: $$$\frac{y^{3}}{- y} = - y^{2}$$$.

Kirjoita laskettu tulos taulukon yläosaan.

Kerro se jakajalla: $$$- y^{2} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}$$$.

Vähennä saadusta tuloksesta jaettava: $$$\left(y^{3}\right) - \left(y^{3}- y^{2}\right) = y^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Blue}- y^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{Blue}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{Blue}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Blue}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{Blue}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\end{array}$$

Vaihe 2

Jaa saadun jäännöksen johtotermi jakajan johtotermillä: $$$\frac{y^{2}}{- y} = - y$$$.

Kirjoita laskettu tulos taulukon yläosaan.

Kerro se jakajalla: $$$- y \left(- y+1\right) = y^{2}- y$$$.

Vähennä jäännös saadusta tuloksesta: $$$\left(y^{2}\right) - \left(y^{2}- y\right) = y$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&{\color{Green}- y}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Green}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{Green}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Green}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{Green}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&y&+0&\end{array}$$

Vaihe 3

Jaa saadun jäännöksen johtotermi jakajan johtotermillä: $$$\frac{y}{- y} = -1$$$.

Kirjoita laskettu tulos taulukon yläosaan.

Kerro se jakajalla: $$$- \left(- y+1\right) = y-1$$$.

Vähennä jäännös saadusta tuloksesta: $$$\left(y\right) - \left(y-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&- y&{\color{Brown}-1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&\\\hline\\&&&{\color{Brown}y}&+0&\frac{{\color{Brown}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Brown}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{Brown}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Koska jäännöksen aste on pienempi kuin jakajan aste, olemme valmiit.

Syntynyt taulukko näytetään uudelleen:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Blue}- y^{2}}&{\color{Green}- y}&{\color{Brown}-1}&&\text{Vihjeet}\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{Blue}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{Blue}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Blue}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{Blue}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&{\color{Green}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{Green}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Green}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{Green}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&{\color{Brown}y}&+0&\frac{{\color{Brown}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Brown}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{Brown}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Siispä $$$\frac{y^{3}}{1 - y} = \left(- y^{2} - y - 1\right) + \frac{1}{1 - y}$$$.