Jaa $$$u^{3}$$$ luvulla $$$u - 1$$$

Kirjoita tehtävä erityisessä muodossa (puuttuvat termit kirjoitetaan nollakertoimilla):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u-1&u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Vaihe 1

Jaa jaettavan johtotermi jakajan johtotermillä: $$$\frac{u^{3}}{u} = u^{2}$$$.

Kirjoita laskettu tulos taulukon yläosaan.

Kerro se jakajalla: $$$u^{2} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}$$$.

Vähennä saadusta tuloksesta jaettava: $$$\left(u^{3}\right) - \left(u^{3}- u^{2}\right) = u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chartreuse}u^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{Chartreuse}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chartreuse}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Chartreuse}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Chartreuse}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Vaihe 2

Jaa saadun jäännöksen johtotermi jakajan johtotermillä: $$$\frac{u^{2}}{u} = u$$$.

Kirjoita laskettu tulos taulukon yläosaan.

Kerro se jakajalla: $$$u \left(u-1\right) = u^{2}- u$$$.

Vähennä jäännös saadusta tuloksesta: $$$\left(u^{2}\right) - \left(u^{2}- u\right) = u$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&{\color{Brown}+u}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Brown}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Brown}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Brown}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{Brown}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&u&+0&\end{array}$$

Vaihe 3

Jaa saadun jäännöksen johtotermi jakajan johtotermillä: $$$\frac{u}{u} = 1$$$.

Kirjoita laskettu tulos taulukon yläosaan.

Kerro se jakajalla: $$$1 \left(u-1\right) = u-1$$$.

Vähennä jäännös saadusta tuloksesta: $$$\left(u\right) - \left(u-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&+u&{\color{OrangeRed}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&\\\hline\\&&&{\color{OrangeRed}u}&+0&\frac{{\color{OrangeRed}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{OrangeRed}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{OrangeRed}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Koska jäännöksen aste on pienempi kuin jakajan aste, olemme valmiit.

Syntynyt taulukko näytetään uudelleen:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Chartreuse}u^{2}}&{\color{Brown}+u}&{\color{OrangeRed}+1}&&\text{Vihjeet}\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{Chartreuse}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chartreuse}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Chartreuse}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Chartreuse}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&{\color{Brown}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Brown}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Brown}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{Brown}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&{\color{OrangeRed}u}&+0&\frac{{\color{OrangeRed}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{OrangeRed}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{OrangeRed}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Siispä $$$\frac{u^{3}}{u - 1} = \left(u^{2} + u + 1\right) + \frac{1}{u - 1}$$$.