Jaa $$$u^{5}$$$ luvulla $$$u^{2} + 1$$$

Kirjoita tehtävä erityisessä muodossa (puuttuvat termit kirjoitetaan nollakertoimilla):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Vaihe 1

Jaa jaettavan johtotermi jakajan johtotermillä: $$$\frac{u^{5}}{u^{2}} = u^{3}$$$.

Kirjoita laskettu tulos taulukon yläosaan.

Kerro se jakajalla: $$$u^{3} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}$$$.

Vähennä saadusta tuloksesta jaettava: $$$\left(u^{5}\right) - \left(u^{5}+u^{3}\right) = - u^{3}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{GoldenRod}u^{3}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{GoldenRod}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{GoldenRod}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{GoldenRod}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{GoldenRod}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Vaihe 2

Jaa saadun jäännöksen johtotermi jakajan johtotermillä: $$$\frac{- u^{3}}{u^{2}} = - u$$$.

Kirjoita laskettu tulos taulukon yläosaan.

Kerro se jakajalla: $$$- u \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u$$$.

Vähennä jäännös saadusta tuloksesta: $$$\left(- u^{3}\right) - \left(- u^{3}- u\right) = u$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&u^{3}&{\color{DarkCyan}- u}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&\\\hline\\&&&{\color{DarkCyan}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkCyan}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkCyan}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{DarkCyan}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

Koska jäännöksen aste on pienempi kuin jakajan aste, olemme valmiit.

Syntynyt taulukko näytetään uudelleen:

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{GoldenRod}u^{3}}&{\color{DarkCyan}- u}&&&&&\text{Vihjeet}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{GoldenRod}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{GoldenRod}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{GoldenRod}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{GoldenRod}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&{\color{DarkCyan}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkCyan}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkCyan}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{DarkCyan}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

Siispä $$$\frac{u^{5}}{u^{2} + 1} = \left(u^{3} - u\right) + \frac{u}{u^{2} + 1}$$$.