Jaa $$$u^{4}$$$ luvulla $$$u^{2} + 1$$$

Kirjoita tehtävä erityisessä muodossa (puuttuvat termit kirjoitetaan nollakertoimilla):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Vaihe 1

Jaa jaettavan johtotermi jakajan johtotermillä: $$$\frac{u^{4}}{u^{2}} = u^{2}$$$.

Kirjoita laskettu tulos taulukon yläosaan.

Kerro se jakajalla: $$$u^{2} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}$$$.

Vähennä saadusta tuloksesta jaettava: $$$\left(u^{4}\right) - \left(u^{4}+u^{2}\right) = - u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{DeepPink}u^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{DeepPink}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DeepPink}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DeepPink}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{DeepPink}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&- u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Vaihe 2

Jaa saadun jäännöksen johtotermi jakajan johtotermillä: $$$\frac{- u^{2}}{u^{2}} = -1$$$.

Kirjoita laskettu tulos taulukon yläosaan.

Kerro se jakajalla: $$$- \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1$$$.

Vähennä jäännös saadusta tuloksesta: $$$\left(- u^{2}\right) - \left(- u^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&u^{2}&{\color{OrangeRed}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{OrangeRed}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{OrangeRed}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{OrangeRed}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{OrangeRed}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Koska jäännöksen aste on pienempi kuin jakajan aste, olemme valmiit.

Syntynyt taulukko näytetään uudelleen:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{DeepPink}u^{2}}&{\color{OrangeRed}-1}&&&&\text{Vihjeet}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{DeepPink}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DeepPink}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DeepPink}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{DeepPink}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&{\color{OrangeRed}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{OrangeRed}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{OrangeRed}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{OrangeRed}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Siispä $$$\frac{u^{4}}{u^{2} + 1} = \left(u^{2} - 1\right) + \frac{1}{u^{2} + 1}$$$.