Inversa de $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]$$$

Calcule $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]^{-1}$$$ usando la eliminación de Gauss-Jordan.

Para encontrar la matriz inversa, forma la matriz aumentada con la matriz identidad y realiza operaciones elementales por filas para convertir la parte izquierda en la identidad. Entonces, la parte derecha será la matriz inversa.

Entonces, forma la matriz aumentada con la matriz identidad:

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & 1 & 0\\3 & 4 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Resta a la fila $$$2$$$ la fila $$$1$$$ multiplicada por $$$3$$$: $$$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & 1 & 0\\0 & -2 & -3 & 1\end{array}\right]$$$

Divide la fila $$$2$$$ por $$$-2$$$: $$$R_{2} = - \frac{R_{2}}{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & 1 & 0\\0 & 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Resta a la fila $$$1$$$ la fila $$$2$$$ multiplicada por $$$2$$$: $$$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & -2 & 1\\0 & 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Hemos terminado. A la izquierda está la matriz identidad. A la derecha está la matriz inversa.

La matriz inversa es $$$\left[\begin{array}{cc}-2 & 1\\\frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-2 & 1\\1.5 & -0.5\end{array}\right].$$$A