Valores propios y vectores propios de $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$$$

Halla los valores propios y los vectores propios de $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$$$.

Empiece formando una nueva matriz restando $$$\lambda$$$ a los elementos de la diagonal de la matriz dada: $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1 - \lambda\end{array}\right]$$$.

El determinante de la matriz obtenida es $$$\lambda^{2} - 2 \lambda + \frac{24}{25}$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de determinantes).

Resuelve la ecuación $$$\lambda^{2} - 2 \lambda + \frac{24}{25} = 0$$$.

Las raíces son $$$\lambda_{1} = \frac{6}{5}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{4}{5}$$$ (para ver los pasos, consulte solucionador de ecuaciones).

Estos son los valores propios.

A continuación, encuentra los vectores propios.

• $$$\lambda = \frac{6}{5}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{1}{5} & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & - \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

  El espacio nulo de esta matriz es $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para ver los pasos, consulta calculadora de espacio nulo).

  Este es el vector propio.

• $$$\lambda = \frac{4}{5}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

  El espacio nulo de esta matriz es $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para ver los pasos, consulta calculadora de espacio nulo).

  Este es el vector propio.

Valor propio: $$$\frac{6}{5} = 1.2$$$A, multiplicidad: $$$1$$$A, vector propio: $$$\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]$$$A.

Valor propio: $$$\frac{4}{5} = 0.8$$$A, multiplicidad: $$$1$$$A, vector propio: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.