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Valores propios y vectores propios de $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10}\end{array}\right]$$$

La calculadora encontrará los valores propios y los vectores propios de la matriz cuadrada $$$2$$$ x $$$2$$$ $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10}\end{array}\right]$$$, y se muestran los pasos.

Calculadora relacionada: Calculadora de polinomios característicos

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Tu aportación

Encuentre los valores propios y los vectores propios de $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10}\end{array}\right]$$$.

Solución

Comienza formando una nueva matriz restando $$$\lambda$$$ de las entradas diagonales de la matriz dada: $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right]$$$.

El determinante de la matriz obtenida es $$$\frac{\left(\lambda - 1\right) \left(2 \lambda - 1\right)}{2}$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de determinantes).

Resuelve la ecuación $$$\frac{\left(\lambda - 1\right) \left(2 \lambda - 1\right)}{2} = 0$$$.

Las raíces son $$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{1}{2}$$$ (para conocer los pasos, consulte solucionador de ecuaciones).

Estos son los valores propios.

A continuación, encuentre los vectores propios.

  • $$$\lambda = 1$$$

    $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{1}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & - \frac{3}{10}\end{array}\right]$$$

    El espacio nulo de esta matriz es $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de espacio nulo).

    Este es el vector propio.

  • $$$\lambda = \frac{1}{2}$$$

    $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{10} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

    El espacio nulo de esta matriz es $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (para conocer los pasos, consulte calculadora de espacio nulo).

    Este es el vector propio.

Respuesta

Valor propio: $$$1$$$A, multiplicidad: $$$1$$$A, vector propio: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1.5\\1\end{array}\right]$$$A.

Valor propio: $$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A, multiplicidad: $$$1$$$A, vector propio: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.