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Calculadora de regla trapezoidal para una función
Aproximar una integral (dada por una función) usando la regla trapezoidal paso a paso
La calculadora aproximará la integral usando la regla trapezoidal, con pasos mostrados.
Calculadora relacionada: Calculadora de regla trapezoidal para una tabla
Tu aportación
Aproximar la integral $$$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}\, dx$$$ con $$$n = 5$$$ usando la regla trapezoidal.
Solución
La regla trapezoidal usa trapezoides para aproximar el área:
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{\Delta x}{2} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 2 f{\left(x_{1} \right)} + 2 f{\left(x_{2} \right)} + 2 f{\left(x_{3} \right)}+\dots+2 f{\left(x_{n-2} \right)} + 2 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$
donde $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
Tenemos que $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 1$$$ y $$$n = 5$$$.
Por lo tanto, $$$\Delta x = \frac{1 - 0}{5} = \frac{1}{5}$$$.
Divida el intervalo $$$\left[0, 1\right]$$$ en $$$n = 5$$$ subintervalos de longitud $$$\Delta x = \frac{1}{5}$$$ con los siguientes puntos finales: $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{5}$$$, $$$\frac{2}{5}$$$, $$$\frac{3}{5}$$$, $$$\frac{4}{5}$$$, $$$1 = b$$$.
Ahora, simplemente evalúe la función en estos puntos finales.
$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = 1$$$
$$$2 f{\left(x_{1} \right)} = 2 f{\left(\frac{1}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{1}{5} \right)} + 1}\approx 2.007826067912793$$$
$$$2 f{\left(x_{2} \right)} = 2 f{\left(\frac{2}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{2}{5} \right)} + 1}\approx 2.058206972332648$$$
$$$2 f{\left(x_{3} \right)} = 2 f{\left(\frac{3}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{3}{5} \right)} + 1}\approx 2.17257446116512$$$
$$$2 f{\left(x_{4} \right)} = 2 f{\left(\frac{4}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 1}\approx 2.340214753424868$$$
$$$f{\left(x_{5} \right)} = f{\left(1 \right)} = \sqrt{\sin^{3}{\left(1 \right)} + 1}\approx 1.263258974474734$$$
Finalmente, simplemente sume los valores anteriores y multiplíquelos por $$$\frac{\Delta x}{2} = \frac{1}{10}$$$: $$$\frac{1}{10} \left(1 + 2.007826067912793 + 2.058206972332648 + 2.17257446116512 + 2.340214753424868 + 1.263258974474734\right) = 1.084208122931016.$$$
Respuesta
$$$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}\, dx\approx 1.084208122931016$$$A