Integral de $$$\frac{1}{x \ln\left(\frac{c}{x}\right)}$$$ con respecto a $$$x$$$
Calculadora relacionada: Calculadora de integrales definidas e impropias
Tu entrada
Halla $$$\int \frac{1}{x \ln\left(\frac{c}{x}\right)}\, dx$$$.
Solución
Sea $$$u=\frac{c}{x}$$$.
Entonces $$$du=\left(\frac{c}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{c}{x^{2}} dx$$$ (los pasos pueden verse »), y obtenemos que $$$\frac{dx}{x^{2}} = - \frac{du}{c}$$$.
La integral puede reescribirse como
$${\color{red}{\int{\frac{1}{x \ln{\left(\frac{c}{x} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u \ln{\left(u \right)}}\right)d u}}}$$
Aplica la regla del factor constante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=-1$$$ y $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u \ln{\left(u \right)}}$$$:
$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u \ln{\left(u \right)}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u \ln{\left(u \right)}} d u}\right)}}$$
Sea $$$v=\ln{\left(u \right)}$$$.
Entonces $$$dv=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \frac{du}{u}$$$ (los pasos pueden verse »), y obtenemos que $$$\frac{du}{u} = dv$$$.
La integral puede reescribirse como
$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{u \ln{\left(u \right)}} d u}}} = - {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}$$
La integral de $$$\frac{1}{v}$$$ es $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:
$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = - {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$
Recordemos que $$$v=\ln{\left(u \right)}$$$:
$$- \ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\ln{\left(u \right)}}}}\right| \right)}$$
Recordemos que $$$u=\frac{c}{x}$$$:
$$- \ln{\left(\left|{\ln{\left({\color{red}{u}} \right)}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{\ln{\left({\color{red}{\frac{c}{x}}} \right)}}\right| \right)}$$
Por lo tanto,
$$\int{\frac{1}{x \ln{\left(\frac{c}{x} \right)}} d x} = - \ln{\left(\left|{\ln{\left(\frac{c}{x} \right)}}\right| \right)}$$
Añade la constante de integración:
$$\int{\frac{1}{x \ln{\left(\frac{c}{x} \right)}} d x} = - \ln{\left(\left|{\ln{\left(\frac{c}{x} \right)}}\right| \right)}+C$$
Respuesta
$$$\int \frac{1}{x \ln\left(\frac{c}{x}\right)}\, dx = - \ln\left(\left|{\ln\left(\frac{c}{x}\right)}\right|\right) + C$$$A