Segunda derivada de $$$e^{- 2 x}$$$

La calculadora encontrará la segunda derivada de $$$e^{- 2 x}$$$, con los pasos que se muestran.

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Tu aportación

Encuentra $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{- 2 x}\right)$$$.

Solución

Encuentra la primera derivada $$$\frac{d}{dx} \left(e^{- 2 x}\right)$$$

La función $$$e^{- 2 x}$$$ es la composición $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de dos funciones $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ y $$$g{\left(x \right)} = - 2 x$$$.

Aplicar la regla de la cadena $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{- 2 x}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(- 2 x\right)\right)}$$

La derivada de la exponencial es $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(- 2 x\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(- 2 x\right)$$

Vuelva a la variable anterior:

$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(- 2 x\right) = e^{{\color{red}\left(- 2 x\right)}} \frac{d}{dx} \left(- 2 x\right)$$

Aplique la regla del múltiplo constante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ con $$$c = -2$$$ y $$$f{\left(x \right)} = x$$$:

$$e^{- 2 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- 2 x\right)\right)} = e^{- 2 x} {\color{red}\left(- 2 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$

Aplique la regla de potencia $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ con $$$n = 1$$$, en otras palabras, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$- 2 e^{- 2 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = - 2 e^{- 2 x} {\color{red}\left(1\right)}$$

Por lo tanto, $$$\frac{d}{dx} \left(e^{- 2 x}\right) = - 2 e^{- 2 x}$$$.

A continuación, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{- 2 x}\right) = \frac{d}{dx} \left(- 2 e^{- 2 x}\right)$$$

Aplique la regla del múltiplo constante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ con $$$c = -2$$$ y $$$f{\left(x \right)} = e^{- 2 x}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- 2 e^{- 2 x}\right)\right)} = {\color{red}\left(- 2 \frac{d}{dx} \left(e^{- 2 x}\right)\right)}$$

La función $$$e^{- 2 x}$$$ es la composición $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de dos funciones $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ y $$$g{\left(x \right)} = - 2 x$$$.

Aplicar la regla de la cadena $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:

$$- 2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(e^{- 2 x}\right)\right)} = - 2 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(- 2 x\right)\right)}$$

La derivada de la exponencial es $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:

$$- 2 {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(- 2 x\right) = - 2 {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(- 2 x\right)$$

Vuelva a la variable anterior:

$$- 2 e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dx} \left(- 2 x\right) = - 2 e^{{\color{red}\left(- 2 x\right)}} \frac{d}{dx} \left(- 2 x\right)$$

Aplique la regla del múltiplo constante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ con $$$c = -2$$$ y $$$f{\left(x \right)} = x$$$:

$$- 2 e^{- 2 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(- 2 x\right)\right)} = - 2 e^{- 2 x} {\color{red}\left(- 2 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$

Aplique la regla de potencia $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ con $$$n = 1$$$, en otras palabras, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$4 e^{- 2 x} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = 4 e^{- 2 x} {\color{red}\left(1\right)}$$

Por lo tanto, $$$\frac{d}{dx} \left(- 2 e^{- 2 x}\right) = 4 e^{- 2 x}$$$.

Por lo tanto, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{- 2 x}\right) = 4 e^{- 2 x}$$$.

Respuesta

$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(e^{- 2 x}\right) = 4 e^{- 2 x}$$$A