Αντίστροφη της $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$

Υπολογίστε $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]^{-1}$$$ χρησιμοποιώντας την απαλοιφή Gauss-Jordan.

Για να βρείτε την αντίστροφη μήτρα, προσαρτήστε δίπλα της τη μοναδιαία μήτρα και εκτελέστε στοιχειώδεις γραμμοπράξεις ώστε το αριστερό μέρος να γίνει η μοναδιαία μήτρα. Τότε, στο δεξί μέρος θα προκύψει η αντίστροφη μήτρα.

Έτσι, επαυξήστε τον πίνακα με τον μοναδιαίο πίνακα:

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}5 & 2 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Διαιρέστε τη γραμμή $$$1$$$ με $$$5$$$: $$$R_{1} = \frac{R_{1}}{5}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\1 & 1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Αφαιρέστε τη γραμμή $$$1$$$ από τη γραμμή $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & \frac{3}{5} & - \frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$$$

Πολλαπλασιάστε τη γραμμή $$$2$$$ με $$$\frac{5}{3}$$$: $$$R_{2} = \frac{5 R_{2}}{3}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{2}{5} & \frac{1}{5} & 0\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$

Αφαιρέστε τη γραμμή $$$2$$$ πολλαπλασιασμένη επί $$$\frac{2}{5}$$$ από τη γραμμή $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} - \frac{2 R_{2}}{5}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\0 & 1 & - \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$

Τελειώσαμε. Στα αριστερά είναι η μοναδιαία μήτρα. Στα δεξιά είναι η αντίστροφη μήτρα.

Ο αντίστροφος πίνακας είναι $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.333333333333333 & -0.666666666666667\\-0.333333333333333 & 1.666666666666667\end{array}\right].$$$A