Αντίστροφη της $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 10\\10 & 25\end{array}\right]$$$

Υπολογίστε $$$\left[\begin{array}{cc}5 & 10\\10 & 25\end{array}\right]^{-1}$$$ χρησιμοποιώντας την απαλοιφή Gauss-Jordan.

Για να βρείτε την αντίστροφη μήτρα, προσαρτήστε δίπλα της τη μοναδιαία μήτρα και εκτελέστε στοιχειώδεις γραμμοπράξεις ώστε το αριστερό μέρος να γίνει η μοναδιαία μήτρα. Τότε, στο δεξί μέρος θα προκύψει η αντίστροφη μήτρα.

Έτσι, επαυξήστε τον πίνακα με τον μοναδιαίο πίνακα:

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}5 & 10 & 1 & 0\\10 & 25 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Διαιρέστε τη γραμμή $$$1$$$ με $$$5$$$: $$$R_{1} = \frac{R_{1}}{5}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & \frac{1}{5} & 0\\10 & 25 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Αφαιρέστε τη γραμμή $$$1$$$ πολλαπλασιασμένη επί $$$10$$$ από τη γραμμή $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - 10 R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & \frac{1}{5} & 0\\0 & 5 & -2 & 1\end{array}\right]$$$

Διαιρέστε τη γραμμή $$$2$$$ με $$$5$$$: $$$R_{2} = \frac{R_{2}}{5}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & \frac{1}{5} & 0\\0 & 1 & - \frac{2}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

Αφαιρέστε τη γραμμή $$$2$$$ πολλαπλασιασμένη επί $$$2$$$ από τη γραμμή $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & 1 & - \frac{2}{5}\\0 & 1 & - \frac{2}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

Τελειώσαμε. Στα αριστερά είναι η μοναδιαία μήτρα. Στα δεξιά είναι η αντίστροφη μήτρα.

Ο αντίστροφος πίνακας είναι $$$\left[\begin{array}{cc}1 & - \frac{2}{5}\\- \frac{2}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & -0.4\\-0.4 & 0.2\end{array}\right].$$$A