Αντίστροφη της $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]$$$

Υπολογίστε $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]^{-1}$$$ χρησιμοποιώντας την απαλοιφή Gauss-Jordan.

Για να βρείτε την αντίστροφη μήτρα, προσαρτήστε δίπλα της τη μοναδιαία μήτρα και εκτελέστε στοιχειώδεις γραμμοπράξεις ώστε το αριστερό μέρος να γίνει η μοναδιαία μήτρα. Τότε, στο δεξί μέρος θα προκύψει η αντίστροφη μήτρα.

Έτσι, επαυξήστε τον πίνακα με τον μοναδιαίο πίνακα:

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & 1 & 0\\3 & 4 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Αφαιρέστε τη γραμμή $$$1$$$ πολλαπλασιασμένη επί $$$3$$$ από τη γραμμή $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & 1 & 0\\0 & -2 & -3 & 1\end{array}\right]$$$

Διαιρέστε τη γραμμή $$$2$$$ με $$$-2$$$: $$$R_{2} = - \frac{R_{2}}{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 2 & 1 & 0\\0 & 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Αφαιρέστε τη γραμμή $$$2$$$ πολλαπλασιασμένη επί $$$2$$$ από τη γραμμή $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & -2 & 1\\0 & 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Τελειώσαμε. Στα αριστερά είναι η μοναδιαία μήτρα. Στα δεξιά είναι η αντίστροφη μήτρα.

Ο αντίστροφος πίνακας είναι $$$\left[\begin{array}{cc}-2 & 1\\\frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-2 & 1\\1.5 & -0.5\end{array}\right].$$$A