Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα του $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$.

Ξεκινήστε με τον σχηματισμό ενός νέου πίνακα αφαιρώντας $$$\lambda$$$ από τα διαγώνια στοιχεία του δοθέντος πίνακα: $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} - \lambda & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \lambda - \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$.

Η ορίζουσα της προκύπτουσας μήτρας είναι $$$\left(\lambda - 1\right)^{2}$$$ (για τα βήματα, δείτε determinant calculator).

Λύστε την εξίσωση $$$\left(\lambda - 1\right)^{2} = 0$$$.

Οι ρίζες είναι $$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = 1$$$ (για τα βήματα, δείτε επίλυση εξισώσεων).

Αυτές είναι οι ιδιοτιμές.

Στη συνέχεια, βρείτε τα ιδιοδιανύσματα.

$$$\lambda = 1$$$

$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{2} - \lambda & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \lambda - \frac{1}{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{2} & \frac{3}{2}\\- \frac{3}{2} & - \frac{3}{2}\end{array}\right]$$$

Ο μηδενικός χώρος αυτού του πίνακα είναι $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μηδενικού χώρου).

Αυτό είναι το ιδιοδιάνυσμα.

Ιδιοτιμή: $$$1$$$A, πολλαπλότητα: $$$2$$$A, ιδιοδιάνυσμα: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.