Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα του $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3}\end{array}\right]$$$

Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3}\end{array}\right]$$$.

Ξεκινήστε με τον σχηματισμό ενός νέου πίνακα αφαιρώντας $$$\lambda$$$ από τα διαγώνια στοιχεία του δοθέντος πίνακα: $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} - \lambda & 0\\0 & \frac{1}{3} - \lambda\end{array}\right]$$$.

Η ορίζουσα της προκύπτουσας μήτρας είναι $$$\left(\frac{1}{3} - \lambda\right) \left(\frac{2}{3} - \lambda\right)$$$ (για τα βήματα, δείτε determinant calculator).

Λύστε την εξίσωση $$$\left(\frac{1}{3} - \lambda\right) \left(\frac{2}{3} - \lambda\right) = 0$$$.

Οι ρίζες είναι $$$\lambda_{1} = \frac{2}{3}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{1}{3}$$$ (για τα βήματα, δείτε επίλυση εξισώσεων).

Αυτές είναι οι ιδιοτιμές.

Στη συνέχεια, βρείτε τα ιδιοδιανύσματα.

• $$$\lambda = \frac{2}{3}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} - \lambda & 0\\0 & \frac{1}{3} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & - \frac{1}{3}\end{array}\right]$$$

  Ο μηδενικός χώρος αυτού του πίνακα είναι $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]\right\}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μηδενικού χώρου).

  Αυτό είναι το ιδιοδιάνυσμα.

• $$$\lambda = \frac{1}{3}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{3} - \lambda & 0\\0 & \frac{1}{3} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$

  Ο μηδενικός χώρος αυτού του πίνακα είναι $$$\left\{\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μηδενικού χώρου).

  Αυτό είναι το ιδιοδιάνυσμα.

Ιδιοτιμή: $$$\frac{2}{3}\approx 0.666666666666667$$$A, πολλαπλότητα: $$$1$$$A, ιδιοδιάνυσμα: $$$\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$$$A.

Ιδιοτιμή: $$$\frac{1}{3}\approx 0.333333333333333$$$A, πολλαπλότητα: $$$1$$$A, ιδιοδιάνυσμα: $$$\left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right]$$$A.