Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα του $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]$$$

Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 2\\3 & 4\end{array}\right]$$$.

Ξεκινήστε με τον σχηματισμό ενός νέου πίνακα αφαιρώντας $$$\lambda$$$ από τα διαγώνια στοιχεία του δοθέντος πίνακα: $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\3 & 4 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Η ορίζουσα της προκύπτουσας μήτρας είναι $$$\lambda^{2} - 5 \lambda - 2$$$ (για τα βήματα, δείτε determinant calculator).

Λύστε την εξίσωση $$$\lambda^{2} - 5 \lambda - 2 = 0$$$.

Οι ρίζες είναι $$$\lambda_{1} = - \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$$$ (για τα βήματα, δείτε επίλυση εξισώσεων).

Αυτές είναι οι ιδιοτιμές.

Στη συνέχεια, βρείτε τα ιδιοδιανύσματα.

• $$$\lambda = - \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\3 & 4 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{-5 + \sqrt{33}}{2} + 1 & 2\\3 & \frac{-5 + \sqrt{33}}{2} + 4\end{array}\right]$$$

  Ο μηδενικός χώρος αυτού του πίνακα είναι $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μηδενικού χώρου).

  Αυτό είναι το ιδιοδιάνυσμα.

• $$$\lambda = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 2\\3 & 4 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2\\3 & 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}\end{array}\right]$$$

  Ο μηδενικός χώρος αυτού του πίνακα είναι $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μηδενικού χώρου).

  Αυτό είναι το ιδιοδιάνυσμα.

Ιδιοτιμή: $$$- \frac{-5 + \sqrt{33}}{2}\approx -0.372281323269014$$$A, πολλαπλότητα: $$$1$$$A, ιδιοδιάνυσμα: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}-1.457427107756338\\1\end{array}\right]$$$A.

Ιδιοτιμή: $$$\frac{5 + \sqrt{33}}{2}\approx 5.372281323269014$$$A, πολλαπλότητα: $$$1$$$A, ιδιοδιάνυσμα: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{-3 + \sqrt{33}}{6}\\1\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}0.457427107756338\\1\end{array}\right]$$$A.