Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα του $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$$$

Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1\end{array}\right]$$$.

Ξεκινήστε με τον σχηματισμό ενός νέου πίνακα αφαιρώντας $$$\lambda$$$ από τα διαγώνια στοιχεία του δοθέντος πίνακα: $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Η ορίζουσα της προκύπτουσας μήτρας είναι $$$\lambda^{2} - 2 \lambda + \frac{24}{25}$$$ (για τα βήματα, δείτε determinant calculator).

Λύστε την εξίσωση $$$\lambda^{2} - 2 \lambda + \frac{24}{25} = 0$$$.

Οι ρίζες είναι $$$\lambda_{1} = \frac{6}{5}$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{4}{5}$$$ (για τα βήματα, δείτε επίλυση εξισώσεων).

Αυτές είναι οι ιδιοτιμές.

Στη συνέχεια, βρείτε τα ιδιοδιανύσματα.

• $$$\lambda = \frac{6}{5}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{1}{5} & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & - \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

  Ο μηδενικός χώρος αυτού του πίνακα είναι $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μηδενικού χώρου).

  Αυτό είναι το ιδιοδιάνυσμα.

• $$$\lambda = \frac{4}{5}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & 1 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\\\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

  Ο μηδενικός χώρος αυτού του πίνακα είναι $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μηδενικού χώρου).

  Αυτό είναι το ιδιοδιάνυσμα.

Ιδιοτιμή: $$$\frac{6}{5} = 1.2$$$A, πολλαπλότητα: $$$1$$$A, ιδιοδιάνυσμα: $$$\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]$$$A.

Ιδιοτιμή: $$$\frac{4}{5} = 0.8$$$A, πολλαπλότητα: $$$1$$$A, ιδιοδιάνυσμα: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.