Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα του $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10}\end{array}\right]$$$

Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10}\end{array}\right]$$$.

Ξεκινήστε με τον σχηματισμό ενός νέου πίνακα αφαιρώντας $$$\lambda$$$ από τα διαγώνια στοιχεία του δοθέντος πίνακα: $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right]$$$.

Η ορίζουσα της προκύπτουσας μήτρας είναι $$$\frac{\left(\lambda - 1\right) \left(2 \lambda - 1\right)}{2}$$$ (για τα βήματα, δείτε determinant calculator).

Λύστε την εξίσωση $$$\frac{\left(\lambda - 1\right) \left(2 \lambda - 1\right)}{2} = 0$$$.

Οι ρίζες είναι $$$\lambda_{1} = 1$$$, $$$\lambda_{2} = \frac{1}{2}$$$ (για τα βήματα, δείτε επίλυση εξισώσεων).

Αυτές είναι οι ιδιοτιμές.

Στη συνέχεια, βρείτε τα ιδιοδιανύσματα.

• $$$\lambda = 1$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}- \frac{1}{5} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & - \frac{3}{10}\end{array}\right]$$$

  Ο μηδενικός χώρος αυτού του πίνακα είναι $$$\left\{\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μηδενικού χώρου).

  Αυτό είναι το ιδιοδιάνυσμα.

• $$$\lambda = \frac{1}{2}$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{4}{5} - \lambda & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{7}{10} - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{10} & \frac{3}{10}\\\frac{1}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$$$

  Ο μηδενικός χώρος αυτού του πίνακα είναι $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μηδενικού χώρου).

  Αυτό είναι το ιδιοδιάνυσμα.

Ιδιοτιμή: $$$1$$$A, πολλαπλότητα: $$$1$$$A, ιδιοδιάνυσμα: $$$\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1.5\\1\end{array}\right]$$$A.

Ιδιοτιμή: $$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A, πολλαπλότητα: $$$1$$$A, ιδιοδιάνυσμα: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.