Διαγωνιοποιήστε $$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$$$

Διαγωνιοποίησε το $$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$$$.

Πρώτα, βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων).

Ιδιοτιμή: $$$1$$$, ιδιοδιάνυσμα: $$$\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]$$$.

Ιδιοτιμή: $$$-2$$$, ιδιοδιάνυσμα: $$$\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]$$$.

Κατασκευάστε τον πίνακα $$$P$$$, του οποίου η στήλη $$$i$$$ είναι το ιδιοδιάνυσμα υπ’ αριθ. $$$i$$$: $$$P = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$.

Σχηματίστε τη διαγώνια μήτρα $$$D$$$, της οποίας το στοιχείο στη γραμμή $$$i$$$, στήλη $$$i$$$, είναι η ιδιοτιμή υπ’ αριθ. $$$i$$$: $$$D = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]$$$.

Οι πίνακες $$$P$$$ και $$$D$$$ είναι τέτοιοι ώστε ο αρχικός πίνακας $$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$.

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής αντίστροφου πίνακα).

$$$P = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$D = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]$$$A

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.333333333333333 & -0.666666666666667\\-0.333333333333333 & 1.666666666666667\end{array}\right]$$$A